Programmers) N으로 표현

문제

아래와 같이 5와 사칙연산만으로 12를 표현할 수 있습니다.

12 = 5 + 5 + (5 / 5) + (5 / 5)
12 = 55 / 5 + 5 / 5
12 = (55 + 5) / 5

5를 사용한 횟수는 각각 6,5,4 입니다. 그리고 이중 가장 작은 경우는 4입니다.
이처럼 숫자 N과 number가 주어질 때, N과 사칙연산만 사용해서 표현 할 수 있는 방법 중 N 사용횟수의 최솟값을 return 하도록 solution 함수를 작성하세요.

제한사항

• N은 1 이상 9 이하입니다.
• number는 1 이상 32,000 이하입니다.
• 수식에는 괄호와 사칙연산만 가능하며 나누기 연산에서 나머지는 무시합니다.
• 최솟값이 8보다 크면 -1을 return 합니다.

입출력 예

N	number	return
5	12	4
2	11	3

입출력 예 설명

예제 #1
문제에 나온 예와 같습니다.

예제 #2
11 = 22 / 2와 같이 2를 3번만 사용하여 표현할 수 있습니다.

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설명

복잡한 문제를 작은 문제로 쪼개어 최적의 해를 찾는
동적 계획법(다이나믹 프로그래밍 - Dynamic Programming)을 사용하여 푸는 문제입니다.


동적 계획법이나 그리디 알고리즘은 늘 봐도 익숙하지 않은 개념 이므로...


공부하고 문제를 푸는 데 좀 애를 먹었습니다.


물론 동적 계획법의 경우 '최적의 해'를 찾기만 하면
의외로 쉽게 해결되는 경우가 많아서
코딩 테스트에 나오게 되면
푸는 재미가 있는 알고리즘이긴 합니다.


그럼 제가 찾은 규칙에 대해 설명하겠습니다.

1) 숫자가 합쳐진 형태 (ex : N, NN, NNN, 문제에서는 5, 55, 555가 되겠죠?)는 경우의 수를 탐색할 때 쓰지 않는다. 즉 처음에 리스트에 담아두어야 한다.

2) N이 3개를 사용하는 계산식의 경우,  2개 & 1개, 혹은 1개 & 2개의 연산으로 표현할 수 있다.
-> ex : (5+5) * 5 혹은 5 * (5+5)

3) N이 4개를 사용하는 계산식의 경우, 3개 & 1개, 2개 & 2개, 1개 & 3개의 연산으로 표현할 수 있다.

4)이렇게 N이 n개를 사용하는 계산식을 표현할 때는 n-1 & 1 ... 1 & n-1로 표현 할 수 있다.

5) N개의 연산에 대한 경우의 수를 미리 리스트에 저장하여  이후 연산에 사용한다. (메모이제이션 - Memoization)


규칙에 대해 뱀발을 추가하자면 제일 작은 단위,
그러니까 N이 3개 일때 부터 갯수를 늘려가며 규칙을 파악한 것을 확인할 수 있습니다.


이렇게 작은 문제에서 식을 찾아내는 방식을 귀납법이라고 하며
발견한 수식을 점화식이라 표현합니다.


귀납법은 동적 계획법에서 많이 쓰이는 방법 이므로,
동적 계획법을 처음 배우시는 분이라면
함께 공부하면 더 효과적이겠습니다.


거두절미하고 코드 리뷰하겠습니다.
위의 규칙을 적용하여 코드를 작성했습니다.

def solution(N, number):
    ls = [set()]
    
    for i in range(1, 9):
        ls[i-1].add(int(str(N)*i))
        # 검증 및 탈출 조건
        if number in ls[-1]:
            return i

        # 경우의 수 산출
        tmp = set()
        for idx in range(len(ls)):
            for component1 in ls[idx]:
                for component2 in ls[-idx-1]:
                    tmp.add(component1+component2)
                    tmp.add(component1*component2)
                    tmp.add(component1-component2)
                    tmp.add(component2-component1)
                    if component1 != 0:
                        tmp.add(component2//component1)
                    if component2 != 0:
                        tmp.add(component1//component2)
        # N개의 연산 경우의 수 저장
        ls.append(tmp)
    return -1

제가 시행착오를 거칠 때는 set이 아닌 리스트를 그대로 사용하여 경우의 수를 전부 가져왔었습니다.


하지만 너무 요소가 많아져 성능 저하가 발생하기도 하고,
어차피 동일한 값을 모두 요소로 가질 필요도 없기 때문에
set으로 중복값을 제거했습니다.


규칙에서 보셨으면 알겠지만
앞쪽 연산과 뒤쪽 연산은 서로 반대로 체크하는 것을 확인할 수 있습니다.
파이썬에서는 리스트 인덱싱할 때 음수 값을 받으며,
음수 값은 리스트 상 맨 뒤 부터 가져오는 것을 의미하므로
이를 토대로 N개의 연산을 적용했습니다.


음수와 나눗셈이 두번 진행되는 것은
덧셈과 곱셈과는 달리
해당 연산은 순서가 바뀌면 연산도 다르게 진행되기 때문입니다.


마지막으로 1부터 8개까지 경우의 수를 따져보고
해당 값이 없을 때는 -1를 반환하도록
함수를 구현했습니다.

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저도 알고리즘을 완전히 이해한 게 아니고
공부 하면서 코드를 작성한 거라
약간 설명이 부족할 수도 있습니다.


수정해야 하는 부분, 피드백이 필요한 부분 있으면 언제든지 댓글달아주세요~


그리고 더 효율적이고 창의적인 방법이 있으면 알려주세요!